La dualità è una proprietà che possiedono certi teoremi ed assiomi, in base alla quale l’enunciato del teorema o dell’assioma rimane valido se scambiamo alcune parole.

Per esempio, se dico che

“Due punti distinti su piano individuano una ed una sola retta”

posso sostituire “punti” con “rette” e “retta” con “punto” ottenendo questo enunciato duale:

“Due rette distinte su un piano individuano uno ed un solo punto”

L’enunciato duale è valido? Assolutamente no, direte voi. Se le rette sono parallele non hanno nessun punto in comune.

E’ un vero peccato che a causa di questo caso particolare il principio di dualità non valga nella geometria del piano, anche perché il problema non riguarda solo l’assioma dei punti scritto sopra. Ci sono altri teoremi della geometria euclidea che si trovano in questa situazione. Tanto per citare un altro esempio, ecco il teorema di Pascal:

“Dato un esagono i cui vertici appartengono ad una conica, i tre punti di incontro dei prolungamenti dei lati opposti dell’esagono appartengono ad una stessa retta”

Scambiamo tutte le occorrenze di “retta/e” con “punto/i”, scambiamo “esagono inscritto” con “esagono circoscritto” e otteniamo il teorema di Brianchon:

“Dato un esagono formato da sei rette che siano tangenti ad una conica, le rette che congiungono i vertici opposti si intersecano in un punto”.

Facendo un po’ di tentativi e di costruzioni, che qui non faccio, ci si accorge che il teorema di Pascal non funziona quando l’esagono ha tre coppie di lati paralleli (se vi state chiedendo come è possibile che un esagono abbia tre coppie di lati paralleli e i vertici su una conica, il trucco sta nel fatto che l’esagono può essere “intrecciato” e la conica può essere degenere).

Insomma, si ha l’impressione che ci sia qualcosa di mancante nella geometria del piano e questa mancanza ci obbliga di tanto in tanto a fare delle precisazioni, ad escludere qualche situazione dall’applicazione di certi teoremi. E’ un po’ come quando diciamo che nel campo dei numeri reali non esiste la radice quadrata di un numero negativo, mentre i numeri positivi hanno due radici quadrate. Una volta definito il campo dei numeri complessi, che estende quello dei reali, non solo il problema delle radici quadrate si risolve, ma l’intera algebra diventa più “ordinata”. Per esempio, possiamo dire che le radici n-esime di un numero complesso sono esattamente n, e che ogni equazione polinomiale ha tante radici quant’è il suo grado.

Ci sarà allora un modo per estendere la geometria del piano, come abbiamo fatto con i numeri reali, così da salvare il principio di dualità, e magari guadagnare qualche altro risultato notevole?

Ebbene sì, ma, come per i numeri complessi, la soluzione ci richiede di introdurre un nuovo oggetto matematico. Immaginiamo di aggiungere al piano dei “punti infinitamente lontani”, che chiameremo “punti all’infinito”. Questi punti non sono visibili sul piano, ma possiamo pensarli come oggetti che rappresentano la direzione di rette. Ogni retta del piano avrà quindi un punto in più, tale punto simboleggia la direzione della retta.

Di conseguenza, due rette parallele, avendo la stessa direzione, hanno in comune il punto all’infinito. Possiamo dire allora che ogni coppia di rette distinte ha un punto in comune. Questo punto comune può essere un punto del piano ordinario (e in tal caso le rette saranno incidenti nel senso della geometria classica) o un punto all’infinito (in tal caso le rette saranno parallele).

Naturalmente, non possiamo accontentarci di questa spiegazione intuitiva. Occorre dare una definizione matematica dei punti all’infinito e derivare da essa il fatto che ogni retta ordinaria ha esattamente un punto all’infinito. Una volta fatto questo, lo spazio che si ottiene viene chiamato “piano proiettivo” e si scopre che tutti i teoremi e gli assiomi della geometria proiettiva soddisfano il principio di dualità. Perciò, non solo possiamo enunciarli in maniera più elegante, senza fare precisazioni ed esclusioni, ma, una volta dimostrato che vale il principio di dualità, per ogni teorema che dimostriamo, abbiamo “gratis” anche il teorema duale.